La gravità sottoterra

Qualche tempo fa ho visto The Core, un film di fantascienza nel quale i protagonisti devono raggiungere il centro della Terra per salvare il pianeta. Se pensiamo al centro della Terra ci vengono in mente anche le fantasticherie del romanzo di Jules Verne. Dimentichiamoci però di assurdi funghi giganti, laghi sotterranei e animali preistorici. Chiediamoci come sarebbe la forza di gravità avvicinandoci al centro della Terra.

Partiamo dal campo gravitazionale all’esterno della Terra. Utilizzando la legge di gravitazione universale di Newton sappiamo che l’accelerazione gravitazionale all’esterno della Terra è proporzionale alla sua massa e diminuisce come l’inverso del quadrato della distanza dal centro. L’accelerazione di gravità è pari a circa 9.8 m/s^2 sulla sua superficie. Ma cosa succede sottoterra? A centinaia di km di profondità percepiremmo una gravità diversa da quella che sentiamo sulla superficie della Terra, e in The Core questo non sembra verificarsi. Ma capiamone di più. 

Ricorriamo al Teorema di Gauss, il quale ci dice che l’accelerazione (e la forza) di gravità generata da un corpo con massa M è pari a quella che si avrebbe se tutta quella massa fosse concentrata nel suo centro (che manna dal cielo).  Ora, fai riferimento all’immagine sulla destra. Approssimiamo la Terra con una sfera di raggio R e densità costante ρ. Avvicinandoci al centro, ad un raggio r < R, avremo sotto di noi una porzione di Terra più piccola, e cioè una sfera di raggio r, volume V = 4/3 * π * r^3 e massa m = V * ρ. Facendo uso del teorema di Gauss, sappiamo che è la massa m all’interno del volume V che esercita un effetto gravitazionale non nullo. Quindi il valore assoluto dell’accelerazione di gravità è pari al prodotto della costante di gravitazione universale G e della massa m diviso per il quadrato del raggio r. La massa m dipende dal cubo di r, quindi facendo un po’ di semplificazioni viene fuori che l’accelerazione di gravità è linearmente proporzionale al raggio r.

Quindi avvicinandoci al centro della Terra ci sentiremmo sempre più leggeri, a metà strada la forza di gravità si dimezzerebbe e al centro della Terra sarebbe nulla (proprio come quella che percepisce un astronauta in orbita)! Quello che succede al centro della Terra lo capiamo anche intuitivamente: per ragioni di simmetria l’attrazione di gravità esercitata da qualsiasi direzione viene annullata da quella dal lato opposto, generando un effetto netto pari a 0.

Fonti: Fisica Generale (S. Rosati).

La gravità è cattiva e pericolosa

La gravità è una forza fondamentale che influenza fortemente la vita quotidiana dell’uomo. I corpi celesti (e non) si attraggono perché dotati di massa, e tale attrazione è tanto più forte quanto più grande è la massa dei corpi stessi, e tanto più debole quanto più i corpi si allontanano (la forza va come l’inverso del quadrato della distanza). Quindi due stelle a distanza molto grande non percepiscono la gravità reciproca. E un oggetto è attratto dalla gravità terrestre e tende a cadere verso il centro della Terra (dovrei parlarvi della legge di conservazione della quantità di moto, ma il minuto scade). E’ quello che le cadute ci hanno insegnato fin da piccoli.

La gravità è il primo nemico per la sopravvivenza dell’uomo, è la più cattiva tra le interazioni fondamentali, perché ammazza uno dei desideri più romantici dell’uomo, e cioè quello di volare. Ed è “pericolosa…e trascina” proprio come la corrente che Troisi descriveva a Leonardo in Non ci resta che piangere.  E’ solo grazie alla forza del nostro corpo che riusciamo a stare in piedi. E’ solo grazie alla forza centrifuga che Valentino Rossi percorre una curva con il ginocchio radente il suolo. E’ solo grazie all’equilibrio tra la forza centrifuga e quella gravitazionale che la Terra continua, imperterrita, a ruotare intorno al Sole lungo la sua orbita ellittica. La forza di gravità è quella che fa sì che gli uomini non fluttuino nello spazio, superando la velocità di fuga. Per questo motivo il peso (o forza peso) di un corpo sarà minore su oggetti stellari o planetari con gravità più debole (ad esempio la Luna). La forza di gravità ci permette anche di percepire il su e il giù, distinzione che in assenza di gravità (come avviene nello spazio in alcune particolari condizioni) non esiste.